近期，公司崔利荣教授与合作者在《Advances in Applied Probability》上发表了题目为：“An elementary derivation of moments of Hawkes processes”的研究论文。该论文针对求解Hawkes过程相关矩的普遍难题（open question）给出了一种初等方法，该方法不仅对马尔可夫Hawkes过程有效，也对一些非马尔可夫Hawkes过程有效，同时该方法也扩展了著名的邓肯公式(Dynkin’s formula)在随机点过程中应用。

　　Hawkes过程是一类具有自激励的点过程，该随机点过程可很好地描述簇类现象与相互影响作用。自1971年由英国的A.G.Hawkes教授基于地震余震的背景提出后，在地震领域得到了扩展与应用。在沉寂了20多年后，在上世纪90年代，Hawkes过程在金融领域开始得到了广泛的关注。目前，除了在地震与金融领域外，还广泛应用于社交网络、神经科学、机器学习、可靠性、信息扩散、犯罪预测、保险、专利引用、心理学、排队论、计算机网络交通等领域。

　　目前，对于计算Hawkes过程相关矩主要有Dynkin公式、无穷小算子、鞅、概率母函数、拉普拉斯变换及矩阵递推方法，除了拉普拉斯变换方法外，其它方法的本质上都是Dynkin公式，即这些方法均要求相关的Hawkes过程具有马尔可夫性质。拉普拉斯变换方法只能对Hawkes过程及其强度函数给出相应的拉普拉斯变换，但一般情况下，没有解析表达式。对于一般的Hwakes过程函数，拉普拉斯变换方法也不适用。

　　这篇论文提出了一种计算Hawkes过程相关矩的初等方法。该方法应用条件期望来建立相应的差分微分方程（组），然后，可递推给出该方程（组）的解析解，进而给出Hawkes过程相关矩的解析表达式。该方法不仅可给出Dynkin公式给出的结果，也可给出Dynkin公式不能给出的结果，因而，该方法扩展了Dynkin公式在随机点过程中应用。论文中通过对简单Hawkes过程（simple Hawkes），简单标记Hawkes过程 (simple marked Hawkes)，互激励Hawkes过程(mutually exciting Hawkes)，Cox过程 (Cox process)，动态传染过程（dynamic contagion），泊松过程(Poisson)、多维标记Hawkes过程 (multi-marked Hawkes)、非马氏Hawkes过程（Non-Markovian Hawkes）等随机点过程的应用，进一步验证了该方法的有效性与适用范围的广泛性。该方法也同时给出了对一般有序随机点过程的m阶矩的一个普遍计算递推公式。

　　该项工作得到了国家自然基金委面上项目（71871021）与重点项目（71631001）的资助。

　　论文信息：Cui, L.R., Hawkes, A.G., Yi H. (2020). An elementary derivation of moments of Hawkes processes. Adv. Appl. Prob . 52, 102-137.

　　论文链接地址：https://www.cambridge.org/core/journals/advances-in-applied-probability/article/an-elementary-derivation-of-moments-of-hawkes-processes/79A7355542F08087C8AE828C664A3049

　　作者个人简介：

　　崔利荣，1994年在英国University of Wales (Swansea)获得概率论与数理统计学博士学位，导师：Prof. A. G. Hawkes. 一直从事质量与可靠性研究与教学工作。

　　易鹤，2010年进入12BET数学与统计学院，2014年获得理学学士学位，并开始直博，2020年获得12BET统计学博士学位，导师为崔利荣。读博期间获得国家留学基金委资助，赴加拿大McMaster大学访学1年。读博期间发表SCI论文9篇。目前，就职于北京化工大学，任职副教授。